串模式匹配-KMP算法详解

在我之前看过的数据结构书里,貌似对KMP总是一笔带过,给我感觉就好似没必要学一样。这次呢,好不容易呢,在严奶奶的数据结构C语言第二版书上提到KMP算法实现,结果老师认为这个太难了,觉得没必要学,也就没讲。这可不行啊,这已经激起了我的好奇心,我更是想把KMP搞懂了。

这几天花了点时间,研究了一下。有点心得,希望可以通过这次总结,来把这个算法的一些细节梳理清楚,也算是考验一下自己是否有真正理解这个算法。

KMP由来

KMP算法是一种改进的字符串匹配算法,由D.E.Knuth,J.H.Morris和V.R.Pratt提出的,因此人们称它为克努特—莫里斯—普拉特操作(简称KMP算法)。

在KMP算法之前,在业内还有一个非常常用的简单匹配算法-BF算法。推荐大家先去看一下笔者BF算法的文章:串的模式匹配-BF算法

BF算法简单直观而且好用。不过他很“蠢”。蠢在哪里呢?因为它在发生不匹配的情况下,总是需要回溯主串的指针。如果字符串中重复的字符比较多,如主串“AAAAAAAAAAB”中查找“AAAB”,每次都需要回溯指针重头开始匹配,比较到最后一个才知道不匹配。这样该算法的执行效率就显得非常低了。三位大佬们是无法忍受“暴力破解”这种低效的手段的,于是他们三个Brute-Force算法的基础上同时提出的模式匹配的改进算法,研究出了不需要回溯主串指针的KMP算法,从而可以大大提高效率。

2022/10/24 14:00 先午睡一小会


KMP思想

当匹配过程中产生“失配”时,主串指针i不变,利用已经得到的“部分匹配”的结果,让模式串尽可能的右滑一段距离,再继续比较。

所以如何记录“失配”时的“部分匹配”的结果,成了KMP的重点。

在KMP算法中,我们将这些部分匹配结果称为next数组。

Next数组

怎么解释呢?next数组到底是如何生成的?

我们为了在“失配”时能够右滑对应的位置,重新比较主串与模式串。于是引入了next数组。

我们假设模式串中的每个位置(字符)都可能发生“失配”情况,而next数组中就对应存放着当模式串第j个位置(假设指针j指向模式串的某个位置)与主串发生“失配”时,要右滑的目标位置。

那么就引出了下一个问题?目标位置如何确定?以及它到底指什么?有什么作用?

目标位置

目标位置是next数组的重点,前面说到kmp的重点是如何生成next数组,那目标位置也就是kmp的重中之重了。

所以目标位置是什么?这里笔者先暂且将目标位置称之为K,在生成next数组中需要用到J、K两个指针,在这里先不提K在next数组还有什么作用,随后慢慢展开。(先说明一点:这里笔者所说的指针并不是实际编程语言中的指针变量那个指针,也可以是一个用于记录索引位置的int变量)。

在笔者看来,K就是用来找最长公共前后缀。而且KMP算法中next数组也就是通过这个最长公共前后缀思想来生成的。所以我们也把next数组,叫做前缀表。至于为什么要找最长公共前后缀,我们来细细道来。

假设模式串为ABCABA....

什么是前后缀?

当模式串J位置发生不匹配时,J位置之前紧挨着的子串叫做后缀。我们要从模式串头位置开始寻找能与j位置前面这个后缀匹配上的子串,所以称这个从头开始的子串叫做前缀。但这么说就对了吗?我们看下面这种图,我们发现按照我们这样说,最后前后缀的结果是J前面的一个完整的一个子串,它们是共同(公共)的,但对我们来说没有意义。实际上我们对于前后缀的定义落了一个重要的条件,要有明确范围的。只有有了明确范围的,才能保证前后缀指的不是一份J前面那个完整的串,而是个有意义的串。

说明:在下面介绍前后缀篇幅中,暂且将指针J位置之前的ABCAB这个子串,直接称为子串。

于是我们对前后缀有了以下定义。

前后缀定义

前缀:包含模式串首个字符的但并不包含子串的最后一个字符的串。

后缀:包含子串的最后一个字符但并不包含模式串首个字符的串。

什么是最长公共前后缀?

在子串中找到最长的两串满足前后缀定义且两串相等,如下图所示。

我们知道了最长公共前后缀是什么了。但我们要知其所以然,现在再来说说为什么要确定最长公共前后缀。先说说为什么要确定后缀

为什么要确定后缀

我们自己想象一下,有没有发现指针j所指位置上的字符前面都是之前与主串已经成功匹配成功过的了(因为只有当前面的串都与主串匹配成功了,才能进行到这次的匹配判断),只要把模式串中一个重复串(一样的子串)移动过来,就可以跳过无用的匹配直接移动过来了。是不是想问什么意思?我们再来看下图。

前缀这个重复串移动到了原先后缀的位置上去了。因为我们知道后缀与主串是匹配的,那么只要在j之前的子串中找到一个与后缀相同的重复串再来跟主串进行匹配。而且我们在图中发现在右滑模式串的时候,主串的i指针并不发生改变。(这就是KMP的特点,无需回溯主串的指针,继续进行比较。)

一个问题解决,又带来一个问题。另一个重复串(与后缀一样的串)为什么一定要是前缀呢?如果中间也有重复串呢,为什么不用中间的?这样会不会跳过中间的能匹配成功的,导致结果错误呢?我们来证明一下,看一下跳过中间的串是否会有影响?

为什么一定要是前缀呢?

我们假设主串为:ACXXACYYACA...    模式串为ACXXACYYACC...

ACXXACYYACA...

ACXXACYYACC...

XX/YY表示中间有任意长度的任意字符。上面可以看到显示出来的串最后一位是不同的,接下来我们看一下如果我们去找中间的重复串,将中间的那个AC滑动道后缀位置开始比较,

在第n次匹配时有如下结果:


ACXXACYYACA...
    ACXXACYYACC...
          ^
          j

若此时两串在j处匹配成功,那么Y=A并且X=Y=A。

那么明显不对了,这样最长的公共重复串就不是AC了。而是ACA....了,我们再次回过头让主串、模式串都重头开始匹配,

ACXXACYYACA...

ACXXACYYACC...

很明显,由于最后一位不匹配,A!=C,压根就不存在ACA的最长公共重复串。所以我们得出一个结论:跳过中间的重复串不会影响最终结果,而且不能找中间的重复串,必须找前缀。

好了,两大问题都解决了。现在回到刚开始那个问题,K是如何找前后缀的?

2022/10/25 21:50 今天码这篇文章时间花的有点多,明天再来更新吧。


2022/10/27 1:18 边看电影边喝咖啡,现在有点睡不着了,码一会字再睡吧。

K是如何找前后缀的

这里我觉得是生成next数组最重要的一点,网上很多文章千篇一律,几乎都没有对这块详细展开,或许他们是落写了,也或许……嗯?你明白吧。

首先K既然是找前后缀的,必然还需要有一个指针要与之作匹配,这个指针就是前面所说的指针j,且位置必然不同,那么K一定在指针j的前面(指位置关系),即有k<j。在指针j一直向后移动的同时,判断k所指字符是否与j所指字符匹配,若匹配,则j、k继续向后移动,并且在j的下一个位置,即j+1处 对应next数组中的j+1处记录K,next[j+1]=k+1。(这里公式中的j、k还未向后移动)

有人可能会疑问?为什么要向后移动,这个向后移动的目的是什么?那么这里我详细讲一下,不管你前面是否看懂了,请先接着看下去。之所以匹配成功后j、k还要向后移动是因为我们要找最长公共前后缀呀!不是吗?既然前面的字符匹配成功了,那说明一定存在k之前的子串与j之前,j-k之后的子串匹配,即t1t2····tk-1=tj-k+1 tj-k+2····tj-1 那当然我们的匹配过程要持续下去,直到我们确定了最长公共前后缀。

至于为何要在next[j+1]处记录k+1,其实很简单,在解释前让我们先看一张图。

 

为了更直观更清晰,我这里数组下标从1开始。(从0开始一个道理)

看这张图,我们知道前缀是从头开始的,那么k在这里不就是我们的最长公共前后缀的长度吗?之所以+1,是因为当j+1位置上的字符如果与主串“失配”时,我们应该要让此时的j+1的跳到我们的k+1的位置上,这就是我们所说的模式串右滑。所以最终我们可以得到,当j、k向后移动后,有next[j]=k。

那若是K左边再无子串呢?表明模式串无法右滑了,这时候k、j只需要向后移动,则j+1,k+1,同时next[j]=k;

现在next数组我们大概了解了是如何生成的了,我们可以试着手推一下next数组。

2022/10/27 2:17 有点困了,睡了。晚安,明天见!


思路已经清晰了,我们来写一下代码。

好,按照上面的思路,现在将思路先转换为代码来试试,我们假设数组起始索引为1。代码如下:

void getNextArr(char* ps,int next[],int length)
{
    int j=1;//一直后移动
    //k一定要比j小,因为要比较前后缀
    int k=0;
    next[1]=0;
    while (j<length)
    {
        //k==0执行里面语句,因为说明k左边没有子串了,肯定不能右滑了,k要向后移动
        //如果匹配要继续后移
        if(k==0||ps[j]==ps[k])
        {
            ++j;
            ++k;
            //next[j+1]=k+1
            next[j]=k;
        }
        else
        {
            //不匹配的话,要右滑。
            //而且k左边还有字符,需要右滑
            k=next[k];//next[k]一定比原来的k小,因为要右滑
        }
    }

}

int main()
{
    char* p=" abcabac";//假设数组索引从1开始,那么字符串前加一个空白字符用来占位。
    int strLength=strlen(p);
    int* next=new int[strLength];//moreover->sizeof(next)/sizeof(next[0])
    getNextArr(p,next,strLength);
    for (int i = 0; i < strLength; i++)
    {
        cout<<next[i]<<endl;
    }
    system("pause");
    return 0;
}

假设串为abcabac,结果为:

-1163005939//数组索引为0的元素,因为上面代码中next数组数据从1开始生成,故此处为随机数
0
1
1
1
2
3
2
请按任意键继续. . .

注意:上面这段代码,因为数组与串索引从1开始,数组索引为0的位置未赋值,所以输出的数组索引为0的元素为随机数

 

现在看这段代码,是不是感觉很简单了。

 

我们知道,在c++中序列的起始索引是0开始的,我们算法中的串索引从0开始遍历更符合语言逻辑,上面的代码需要稍微修改一下,j初始值应该为0,则k初始值为-1,判断k左边有无子串时,只需判断k是否等于-1。

数组起始索引为0:

运行代码:

void getNextArr(char* ps,int next[],int length)
{
    int j=0;//一直后移动
    //k一定要比j小,因为要比较前后缀
    int k=-1;
    next[0]=-1;
    while (j<length)
    {
        //k==0执行里面语句,因为说明k左边没有子串了,肯定不能右滑了,k要向后移动
        //如果匹配要继续后移
        if(k==-1||ps[j]==ps[k])
        {
            ++j;
            ++k;
            //next[j+1]=k+1
            next[j]=k;
        }
        else
        {
            //不匹配的话,要右滑。
            //而且k左边还有字符,需要右滑
            k=next[k];//next[k]一定比原来的k小,因为要右滑
        }
    }

}

int main()
{
  //note 以索引0为起始索引
    char* p="abcabac";
    int strLength=strlen(p);
    int* next=new int[strLength];//moreover->sizeof(next)/sizeof(next[0])
    getNextArr(p,next,strLength);
    for (int i = 0; i < strLength; i++)
    {
        cout<<next[i]<<endl;
    }
    system("pause");
    return 0;
}

输出结果:

-1
0
0
0
1
2
1

因我们的起始索引改变了,指针之间差1,所以的输出结果也差1。其实没差,只要我们确定了序列起始索引,做相应的处理,那么这里不会影响最终的算法结果。

2022/11/3 11:50 才想起来KMP还没更新完,还好我还没忘记。


 

 

作者:Miracle
来源:麦瑞克博客
链接:https://www.unitymake.com/archives/programming-life/cpp/2145
本博客所有文章除特别声明外,均采用CC BY-NC-SA 4.0许可协议,转载请注明!
THE END
分享
打赏
海报
串模式匹配-KMP算法详解
在我之前看过的数据结构书里,貌似对KMP总是一笔带过,给我感觉就好似没必要学一样。这次呢,好不容易呢,在严奶奶的数据结构C语言第二版书上提到KMP算法实现……
<<上一篇
下一篇>>
文章目录
关闭
目 录